वक्रो `(x-1)^(2)+y^(2)+=1` तथा `x^(2)+y^(2)=1` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है

Options

A. `((pi)/(2)-(1)/(sqrt3))` वर्ग इकाई
B. `(1)/(2)((pi)/(sqrt3)-(1)/(2))` वर्ग इकाई
C. `((2pi)/(3)-(sqrt3)/(2))` वर्ग इकाई
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

C

Explanation

दिया गया वक्र, `(x-1)^(2)+y^(2)=1" "....(i)`
`:.y=sqrt(1-(x-1)^(2))`
जोकि एक वृत्त को दर्शाती है, जिसका केन्द्र (1,0) तथा त्रिज्या 1 तथा वक्र
`x^(2)+y^(2)=1" "....(ii)`
`:.y=sqrt(1-x^(2))`
जोकि एक वृत्त को दर्शाती है, जिसका केन्द्र (0,0) तथा त्रिज्या 1 है।
`:'` दोनों वक्र वृत्त है तथा `(x-1)^(2)=x^(2)` पर मिलते है।
जहाँ `2x=1" या "x=(1)/(2)`

`:'` अभीष्ट क्षेत्रफल (छायांकित भाग ) `=2[int_(0)^(1//2)y_(1)dx+int_(1//2)^(1)y_(2)dx]`
`=2[int_(0)^(1//2)sqrt(1-(x-1)^(2))dx+int_(1//2)^(1)sqrt(1-x^(2))dx]`
`=2[(x-1)/(2)sqrt(1-(x-1)^(2))+(1)/(2)sin^(-1)""(x-1)/(1)]_(0)^(1//2)`
`+2[(x)/(2)sqrt(1-x^(2))+(1)/(2)sin^(-1)x]_(1//2)^(1)`
`=2[((1)/(2)-1)/(2)sqrt(1-(1)/(4))+(1)/(2)sin^(-1)(-(1)/(2))-((-1)/(2))=0-(1)/(2)sin^(-1)(-1)]`
`+2[0+(1)/(2)sin^(-1)(1)-(1)/(4)sqrt(1-(1)/(4))-(1)/(2)sin^(-1)""(1)/(2)]`
`=2[-(1)/(4).(sqrt3)/(2)-(1)/(2).(pi)/(6)+0+(1)/(2).(pi)/(2)]+(pi)/(2)-(1)/(2).(sqrt3)/(2)-(pi)/(6)`
`=-(sqrt3)/(4)-(pi)/(6)+(pi)/(2)+(pi)/(4)-(sqrt3)/(4)-(pi)/(6)=((2pi)/(3)-(sqrt3)/(2))` वर्ग इकाई