माना `z_(1)` और `z_(2)` सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं की `z_(1) ne z_(2)` और `|z_(1)| = |z_(2)|`, यदि `z_(1)` धनात्मक वास्तविक भाग है और `z_(2)` ऋणात्मक काल्पनिक भाग है, तब `(z_(1) + z_(2))//(z_(1)-z_(2))` सदैव होगा

Options

A. शून्य
B. वास्तविक और धनात्मक
C. वास्तविक और ऋणात्मक
D. पूर्णतया काल्पनिक

Answer

D

Explanation

माना `z_(1) = a +ib` और `z_(2) =c -id`
जहाँ, a और b धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं ।
`therefore |z_(1)| = |z_(2)| rArr a^(2) + b^(2) = c^(2) +d^(2) … (i)`
अब, `(z_(1) + z_(2))/(z_(1) - z_(2)) = ((a+c) + i(b-d))/((a-c) +i(b+d))`
` = ((a+c) +i(b-d))/((a-c) +i(b +d)) xx ((a-c)-i(b+d))/((a-c) -i(b+d))`
` = ((a^(2)-c^(2)) + (b^(2)-d^(2))- 2i(ad+bc))/((a-c)^(2) + (b+d)^(2))`
`=(-2i(ad+bc))/((a-c)^(2) +(b+d)^(2))` [पूणर्तः काल्पनिक]
अब, `(z_(1) +z_(2))/(z_(1) -z_(2)) = 0 rArr ad+bc = 0`
`rArr (a)/(c) = -(b)/(d) = k` [माना]
`rArr a = ck` तथा `b = -dk`
`rArr a + ib = k(c-id) " "... (ii)`
यदि k = 1, तब समी (ii) से `z_(1) = z_(2)` जोकि `z_(1) ne z_(2)` के विपरीत है ।
यदि `k ne 1`, तब समी (i) को संतुष्ट नहीं करता है।