निम्न में से कौन-सा कथन सत्य है?

Options

A. `z_(1) lt z_(2)`
B. `z_(1) gt z_(2)`
C. `z_(1) = z_(2)`
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

D

Explanation

सम्मिश्र संख्याओं के मध्य असमिका का प्रयोग अर्थहीन होता है अर्थात सम्मिश्र संख्याओं में असमिका के प्रयोग का कोई नियम नहीं होता है ।
`z_(1) = (sqrt(3) + i)/(sqrt(3) -i) = (sqrt(3) + i)/(sqrt(3) -i) * (sqrt(3) + i)/(sqrt(3) + i)`
`= (3-1 + 2isqrt(3))/(3+1) = (1)/(2) + (sqrt(3))/(2)i`
`therefore "amp" (z_(1)) = "tan"^(-1)((sqrt(3)//2)/(1//2))`
`="tan"^(-1) (sqrt(3)) = pi//3`
तथा `|z_(1)| = sqrt(((1)/(2))^(2)+ ((sqrt(3))/(2))^(2)) = sqrt((1)/(4) + (3)/(4)) = 1`
अब, `z_(2) = (i(sqrt(3) + i)^(4))/((2-i2sqrt(3))^(2)) = (i(2 + 2sqrt(3)i)^(2))/(4(-2-2isqrt(3)))`
`=(i(-2 + 2isqrt(3)))/(2(-1-sqrt(3)i)) = (sqrt(3) + i)/(1+sqrt(3)i)`
` = ((sqrt(3) + i))/(1+isqrt(3)) * (1-sqrt(3)i)/(1-sqrt(3)i) = (2sqrt(3) -2i)/(4)`
`= (sqrt(3))/(2) - (1)/(2)i`
`"amp"(z_(2)) = "tan"^(-1) ((-1//2)/(sqrt(3)//2))`
`="tan"^(-1) ((-1)/(sqrt(3)))`
` = -"tan"^(-1) ((1)/(sqrt(3))) = (-pi)/(6)`
`rArr |z_(2)| = sqrt((3)/(4) + (1)/(4)) = 1`