गोलिये सतह से प्रकाश के अपवर्तन के लिए सूत्र स्थापित कीजिए -
`mu/v-1/u=(mu-1)/R`

Explanation

चित्रानुसार माना एक अवतल अपवर्तन सतह के मुख्य अक्ष पर एक बिंदु वस्तु O रखी है , जिसका आभासी प्रतिबिम्ब i पर प्राप्त होता है ।

चित्रानुसार , आपतन कोण =`angleOMC=i`
अपवर्तन कोण =`angleLMN=angleIMC=r`
माना `angleMOC=alpha, angleMIC=beta` तथा `angleMCP=theta`
स्नेल के नियमानुसार -
`mu="sin i"/"sin r "`
`because ` i व r के मान बहुत कम होते है , अतः उन्हें रेडियन में मापने पर ,
sin i ~ i तथा sin r ~ r
`therefore mu=i/r`
`i=mur` ...(1)
`DeltaOMC` में , `theta=i+alpha`
`i=theta-alpha`
`DeltaIMC` में , `theta=r+beta`
`r=theta-beta`
i तथा r के मान समी (1 ) में रखने पर ,
`thet-alpha=mu(theta-beta)`....(2)
अब कोण =`"चाप "/"त्रिज्या "` के अनुसार ,
`alpha="PM"/PO", beta="PM"/"PI" तथा theta ="PM"/"PC"`
समी (2 ) में मान रखने पर ,
`"PM"/"PC"-"PM"/PO"=mu("PM"/"PC"-"PM"/"PI")`
`1/"PC" - 1/"PO" = mu (1/"PC"-1/"PI")`
परन्तु PO=-u, PC=-R तथा PI=-v
समी (2 ) में मान रखने पर ,
`-1/R-((-1)/u)=mu[(-1)/R- (-1)/v]`
`rArr mu/R-1/R=mu/v-1/u`
`(mu-1)/R=mu/v-1/u`
यही अवतल पृष्ठ से अपवर्तन का सूत्र है ।