सिद्ध करें कि यदि एक समांतर चतुर्भुज कि सभी भुजाएँ एक वृत्त को स्पर्श रेखा करें तो वह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज हैं|

Explanation

O केंद्र वाली वृत्त समांतर चतुर्भुज ABCD कि चारों भुजाओं को स्पर्श करती हैं|
सिद्ध करना हैं: AB =BC = CD =AD.
उपपत्ति: चूँकि किसी बाह्म बिंदु से खींची गई वृत्त कि स्पर्श रेखाओं कि लम्बाई सामान होती हैं,
`therefore AP = AS` [A से स्पर्श रेखा] ...................(i )
BP = BQ [B से स्पर्श रेखा]..........(ii)
CR = CQ [C से स्पर्श रेखा] .............(iii)
DR = DS [D से स्पर्श रेखा] ........(iv )
अब, `AS + CD = AP + BP + CR + DR = AS +BQ + CQ + DS` [(i), (ii), (iii) और (iv) से]
`=(AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC`
इस तरह AB + CD = AD + BC
`rArr 2AB = 2AD` [`therefore` समांतर चतुर्भुज कि सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं]
`rArr AB=AD`
`therefore CD = AB = AD = BC` अर्थात `AB = BC =CD =DA`
अतः ABCD एक समचतुर्भुज हैं|