वृत्त `(O,r)` के बाहर बिंदु `P` से `PA `और `PB` दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं| दिखाएँ कि यदि `OP = 2r`, तो `triangleAPB` समबाहु त्रिभुज हैं|

Explanation

मान लें कि OP वृत्त को Q पर काटती है|
OA और AQ को मिलाया|
`therefore OAQ =90^(@)`
`therefore OP= OP-OQ = 2r-r=r`
अब OAP का समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण A समकोण है और Q, OP का मध्य बिंदु है|
`therefore QA = OQ = QP =r`
इस तरह OA = OQ = OA =r
`therefore triangleAOQ` का समबाहु त्रिभुज है|
तब `angleAOQ = 60^(@) rArr angleAPO = 30^(@)`
`rArr angleAPB = 2 angleAPO = 60^(@)`
अब PA = PB
`rArr anglePAB = anglePBA = 60^(@)`
अब PA = PB
`rArr anglePAB = anglePBA = 60^(@)`
इस प्रकार `anglePAB = anglePBA = angleAPB = 60^(@)`
अतः `triangleAPB` एक समबाहु त्रिभुज है|