चित्र में XY तथा X'Y', `O` केंद्र वाले एक वृत्त पर दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु `C` पर एक स्पर्श रेखा `AB`, XY को `A` तथा X'Y' को `B` पर प्रतिछेद करती हैं तथा `B` पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिये कि `angleAOB = 90^(@)`

Explanation

XY और X'Y' और X'Y', O केंद्र वाले एक वृत्त कि समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं|
AB एक अन्य स्पर्श रेखा हैं जो वृत्त को C पर स्पर्श करती हैं और XY को A और X'Y' को B पर काटती हैं|
सिद्ध करना हैं: `angleAOB= 90^(@)`
उपपति: चूँकि AO, `angleXAC` का अर्द्धक हैं|
`therefore angleOAC = 1/2 angleXAC`................(i)
पुनः BO, `angleCBX'` का अर्द्धक हैं| ........(ii)
`therefore angleOBC = 1/2 angle CBX'`
चूँकि XY और X'Y' समान्तर रेखाएँ हैं और AB एक तिर्यक रेखा हैं|
`therefore angleXAC + angleCBX' = 180^(@)` [`therefore` एक और के अन्तः कोणों का योग = `180^(@)`]
`rArr 1/2 angleXAC + 1/2 angleCBX = 90^(@)`
`rArr angleOAC + angleOBC = 90^(@)` [(i) और (ii) से]
`rArr angleOAB + angleOBA = 90^(@)`
किन्तु `angleAOB + (angleOAB + angleOBA) = 180^(@)` [`triangleAOB` के कोणों का योग `=180^(@)`]
`rArr angleAOB = 180^(@) - 90^(@) = 90^(@)`
अतः `angleAOB = 90^(@)`