निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल करें।
`5x-3y+z=16`
`2x+y+3z=19`
`x+2y+4z=25`

Explanation

माना की `A=[(5,3,1),(2,1,3),(1,2,4)], X=[(x),(y),(x)]` तथा `B=[(16),(19),(25)]`
तो दिए गए समीकरण निकाय का आव्यूह समीकरण `AX =B` होगा।
अब `|A|=|(5,3,1),(2,1,3),(1,2,4)|=5(4-6)-3(8-3)+1(4-1)-22 ne 0`
अतः A व्युत्क्रमणीय है। इसलिए दिए गए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल होगा जो `X=A^(-1)B` से प्राप्त होगा।
माना की C एक आव्यूह है जिसके अवयव आव्यूह A के संगत अवयवों के सहखंड (cofactors) हैं।
तो `C=[(-2,-5,3),(-10,19,-7),(8,-13,-1)] :. adj A=C'=[(-2,-10,8),(-5,19,-13),(3,-7,-1)]`
`:. A^(-1) =("adj A")/(|A|)=1/(-22)[(-2,-10,8),(-5,19,-13),(3,-7,-1)]=[(2//22,10//22,-8//2),(5//2,-19//22,13//22),(-3//22,7//22,1//22)]`
`:. X=A^(-1) B=[(2//22,10//22,-8//22),(5//22,-19//22,13//2),(-3//22,7//22,1//22)][(16),(19),(25)]=[(1),(2),(5)]`
`:. [(x),(y),(z)]=[(1),(2),(5)] :. x=1, y=2, z=5`