दिखाएँ की निम्नलिखित समीकरण निकाय संगत है।
`x-y+z=3`,
`2x+y-z=2`,
`-x-2y+2z=1` हल भी निकालें।

Explanation

आव्यूह रूप में दिया गया समीकरण निकाय है, `AX =B`
जहाँ `A=[(1,-1,1),(2,1,-1),(-1,-2,2)], X=[(x),(y),(z)]` तथा `B=[(3),(2),(1)]`
अब, `|A|=|(1,-1,1),(2,1,-1),(-1,-2,2)|=1(2-2)+1(4-1)+1(-4+1)=0`
अतः दिए गए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है या अनंत (infinite) हल हैं।
दिया गया समीकरण निकाय संगत होगा यदि `("adj A") B=O` तथा यह असंगत होगा यदि `("adj A") B ne O`
माना की C एक आव्यूह है जिसका अवयव आव्यूह A के संगत अवयवों के सहखंड (cofactors) हैं, तो
`C=[(0,-3,-3),(0,3,3),(0,3,3)] :. adj A=C'=[(0,0,0),(-3,3,3),(-3,3,3)]`
अब `("adj A").B=[(0,0,0),(-3,3,3),(-3,3,3)][(3),(2),(1)]=[(0),(0),(0)]`
इस प्रकार, `("adj A") B =O` (शून्य आव्यूह)
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है और इसके अनंत (infinite) हल होंगे।
हल निकलना : दिया गया समीकरण हैं,
`x-y+z=3` ...(1)
`2x+y-z=2` ...(2)
`-x-2y+2z=1`
`(1)+(2)implies 3x=5 implies x=5/3`
(1) से, `z=3+y-x=3+y-5/3=4/3+y`
अतः दिए गए समीकरण निकाय का हल होगा,
`x=5/3, y=t, z=4/3+t`, जहाँ t एक स्वेच्छ संख्या है।