आव्यूह का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल करें।
`x+y+z=6`
`x+2y+3z=14`
`x+4y+7x=30`

Explanation

दिए गए समीकरण हैं,
`x+y+z=6`
`x+2y-3z=14` ...(2)
`x+4y+7z=30` ...(3)
आव्यूह रूप में यह समीकरण निकाय है, `AX =B`,
जहाँ `A=[(1,1,1),(1,2,3),(1,4,7)], X=[(x),(y),(z)]` तथा `B=[(6),(14),(30)]`
अब `|A|=[(1,1,1),(1,2,3),(1,4,7)]=1(14-12)-1(7-3)+1(4-2)=2-4+2=0`
अतः दिए गए समीकरण निकाय का चाहे कोई हल नहीं है या अनंत (infinitely many) हल है।
पुनः `adj A=[(2,-3,1),(-4,6,-2),(2,-3,1)]`
`:. (adj A).B =[(2,-3,1),(-4,6,-2),(2,-3,1)].[(6),(14),(30)]=[(0),(0),(0)]=O` (शून्य आव्यूह)
अतः दिया गया समीकरण निकाय सांगत है तथा इसके अनंत (infinitely many) हल हैं।
माना की `z=k`
समीकरण (1) से, `x+y=6-k` ...(4)
समीकरण (2) से, `x+2y=14-3k` ...(5)
समीकरण (3) से, `x+4y=30-7k` ...(6)
(4), (5), (6) को हल करने पर हमें मिलता है,
`x=-2+k, y=8-2k`
स्पष्टतः यह समीकरण (6) को संतुष्ट करता है।
`:. X=-2+k, y=8-2k` तथा `z=k AA k in R` है।