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Class 12
MATHS
ज्ञात करें int sqrt(a^2- x^2) dx...

ज्ञात करें `int sqrt(a^2- x^2) dx`

लिखित उत्तर

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माना की `x=a sin theta,` तो `dx= a cos theta d theta`
अब, `int sqrt(a^2-x^2)dx=int sqrt(a^2-a^2 sin^2 theta) a cos theta d theta`
`int sqrt(a^2 (1-sin^2 theta)) a cos theta d theta= int a cos theta a cos theta d theta `
`a^2 int cos^2 theta d theta = a^2 int (1+cos 2 theta)/2 d theta`
`=a^2/2(theta+(2sin thetacos theta)/2)+c = a^2/2(theta+sin theta cos theta)+c" ...(1)"`
`because" "x=asin theta=sqrt(1-sin^2 theta)=sin theta=x/a" ":." "theta=sin^(-1)""x/a`
तथा `cos theta=sqrt(1-sin^2 theta)=sqrt(1-x^2/a^2)=sqrt(a^2-x^2)/a`
`:." (1)"` से, `int sqrt(a^2-x^2)dx=a^2/2[sin^(-1)""x/a+x/asqrt(a^2-x^2)/a]+c`
`=a^2/2 sin^(-1)x/a+x/2sqrt(a^2-x^2)+c`
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