ज्ञात करें `int e^x/sqrt(e^(2x)-4)dx`

Explanation

यहाँ `sqrt(e^(2x)-4) = -sqrt((e^x)^2-2^(2))` जो `sqrt(x^2-a^2)` रूप का है, इसलिए `e^x = 2 sec theta` रखा जा सकता है | `int e^x/sqrt(e^(2x)-4)=int e^x/sqrt((e^x)^2-2^2)" ...(1)"`
माना की `e^x = 2 sec theta,` तो `e^x dx = 2 sec theta tan theta d theta`
अब (1) से, `int e^x/sqrt(e^(2x)-4)dx=int(2sec theta tan theta)/sqrt(4 sec^2 theta -4)d theta=int(2 sec theta tan theta)/(2 tan theta)d theta`
`= int sec theta d theta = log | sec theta + tan theta|+c" ...(2)"`
`because" "e^x=2 sec theta" ":." "sec theta =e^x/2`
`:." "tan theta =sqrt(sec^2 theta - 1)=sqrt(x^(2x)/4-1)=sqrt(e^(2x)-4)/2`
(2) से, `int e^x/sqrt(e^(2x)-4)dx=log |e^x/2+sqrt(e^(2x)-4)/2|+c`
`=log((e^x+sqrt(e^(2x)-4))/2)+c" "[becausee^x +sqrt(e^(2x)-4)gt 0]`
`=log (e^x+sqrt(e^(2x)-4)-log 2+c =log (e^(x)+sqrt(e^(2x)-4))+K`