ज्ञात करें `int x log ( x+1) dx`

Explanation

x, algebraic function है तथा `log ( x+1 )`, lograithmic function है और ILATE में L, A के पहले आता है इसलिए `log (x+1)` को u तथा x को v मानें |
`I=int x log (x+1)dx = log (x+1) ""x^2/2-int (1/(x+1)x^2/2)dx`
`=x^2/2 log (x+1) - 1/2 int x^2/(x+1) dx" ...(1)"`
`int x^2/(x+1)dx` निकालना : माना की `z=x+1,` तो `dz = dx,` तथा `x=z-1`
अब, `int x^2/(x+1) dx = int ((z-1)^2)/z ""dz=int(z^2 -2z+1)/z""dz`
`=int (z-2+1/z)dz=z^2/2-z + log |z|`
`=((x+1)^2)/2""-2(x+1)log|x+1|`
(1) से, `i = x^2/2""log (x+1)-1/2[((x+1)^2)/2-2(x+1)+log|x+1|]+c`
`=x^2/2log (x+1)-((x-1)^2)/4+x+1-1/2log|x+1|+c`
`=x^2/2 log (x+1) -((x+1)^2)/4+x -1/2 |(x+1)|+k`
जहां `k=c+1`