ज्ञात करें ` int (x^3 + 3x +2)/((x^2 +1)^2 (x+1)) dx`

Explanation

`I =int (x^3 + 3x +2)/((x^2 +1)^2 (x+1)) dx`
`=int(x)/((x^2+1)(x+1))dx+2int (dx)/((1+x^2)^2)" ....(1)"`
माना की `x/((1+x)(x+1))=A/(1+x)+(Bx+C)/(1+x^2)" ...(1)"`
`:." "x=A (1+x^2)+(Br+C)(1+x`
`x=-1` रखने पर हमे मिलता है, `A=-1/2`
`x=0` रखने पर हमे मिलता है, `0=A+C rArrC=-A =1/2`
`x=1` रखने पर हमे मिलता है
`1=2A+2 (B+C)=2A+2B+2C = -1 +2B +1" ":." "B=1/2`
`:." "`(2) से, `int x/((1+x)(1-x^2))dx =int (-1/(2(1+x))+(1/2x+1/2)/(1+x^2))dx`
`=-1/2 log|1+x|+1/4 log (1+x^2)+1/2 tan^(-1)x" ...(3)"`
`int (dx)/((1+x^2)^2)` निकालना :
`x = tan theta` रखे तो, `dx = sec^2 theta d theta`
अब `int (dx)/((1+x^2)^2)=int (sec^2theta)/((1+tan^(2)theta)^2)d theta=int cos^2 theta d theta = int (1+cos 2theta)/2 d theta`
`=1/2[theta +(sin 2 theta)/2]=1/2 [ theta + sin theta cos theta]`
`=1/2 [ tan^(-1)x +x/sqrt(1+x^2) ""1/sqrt(1+x^2)]=1/2 tan^(-1) x +1/2 ""x/((1+x^2))`
अब (1) से,
`I =3/2 tan^(-1)x-1/2log |1+x|+1/4log(1+x^2)+x/(1+x^2)+c`