सिध्द करें कि अर्ध्दवृत का कोण समकोण होता है |

Explanation

माना कि O अर्ध्दवृत का केन्द्र है तथा AOB इसका व्यास है | माना कि अर्ध्दवृत
पर P एक बिन्दु है, तो `angle APB` अर्ध्दवृत्त का कोण है | OP को मिलाया | वृत्त के केन्द्र O
को मूल बिन्दु माना | माना कि P का स्थिति सदिश `vecr` है तथा A का स्थिति सदिश `vec(alpha)` है तो
B का स्थिति सदिश `-vec(alpha)` होगा |

स्पष्टतः `OA= OB= OP`
अब `vec(AP)=(vecr-vec(alpha))` तथा `vec(BP)=(vecr+vec(alpha))`
`therefore vec(AP)cdot vec(BP) = (vecr - vec(alpha))cdot(vecr+vec(alpha))=r^(2) - alpha^(2) =OP^(2) -OA^(2) =0`
`[because OP=OA]`
`therefore AP bot BP` अर्थात् `angle APB = 90^(@)`