निम्नलिखित समतलो के कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिये
(i) ` vecr * ( 2 hati + 3 hatj - 4 hatk ) = 1 `
(ii) ` vec r = ( lamda - 2 mu ) hati + ( 3 - mu ) hatj + ( 2lamda + mu ) hatk `.

Explanation

चूँकि ` vec r = x hati + y hatj + z hatk ` इसलिए तल के सदिश समीकरण
`vec r = ( 2 hati + 3 hatj - 4 hatk ) = 1 `
या ` 2x + 3y - 4z = 1 `
यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है |
(ii) चूँकि ` vec r = x hati + y hatj + z hatk ` इसलिए दिए हुए तल के सदिश समीकरण को लिखा जा सकता है |
` x hati + y hatj + z hatk = ( lamda - 2 mu ) hati + ( 3 - mu) hatj + ( 2lamda + mu ) hatk `
` hati , hatj ` तथा ` hatk ` के गुणांकों को बराबर करने पर हमे मिलता है ,
` x = lamda - 2mu rArr lamda - 2mu - x = 0 " " `...(1)
`y = 3 - mu rArr 0 * lamda - mu + ( 3 - y ) = 0 " " `...(2)
` z = 2lamda + mu rArr 2lamda + mu - z = 0 " " `...(3)
समीकरण (1 ) , (2 ) तथा (3 ) से ` lamda ` तथा ` mu ` को विलुप्त करने पर हमे मिलता है ,
`|{:( 1 ,,-2,, -x) ,( 0,,-1,,3-y ), (2,,1,,-z):}| = 0 `
या ` 1* ( z -3 + y ) + 2 * ( 0 - 6+ 2y ) - x ( 0 + 2 ) = 0 `
या ` z -3+ y - 12 + 4y -2x = 0 `
` therefore 2x - 5y - z + 15 = 0 `
यही तल की अभीष्ट कार्तीय समीकरण है|