समतलों ` vecr * ( 2 hati + 6 hatj ) + 12 = 0 ` तथा ` vecr * ( 3 hati - hatj + 4 hatk ) = 0 ` के प्रतिच्छेदी रेखा से जाते हुए समतलों का कार्तीय तथा सदिश समीकरण ज्ञात करे जो मूल बिंदु से इकाई दुरी पर है |

Explanation

यहाँ `vec r = x hati + y hatj + z hatk `
` therefore ` पहले तल का समीकरण है, ` vecr * ( 2 hati + 6 hatj ) + 12 = 0 `
या ` ( x hati + y hatj + z hatk ) * ( 2 hati + 6 hatj ) + 12 = 0 `
या ` 2 x + 6y + 12 = 0 `
या ` x + 3y + 6 = 0" " `...(1)
दूसरे तल का समीकरण है ` vecr * ( 3 hati - hatj + 4hatk ) = 0 `
या ` ( x hati + y hatj + z hatk ) * ( 3 hati - hatj + 4 hatk ) = 0 `
या ` 3x - y + 4z = 0 " " `...(2)
समतलों (1 ) तथा (2 ) के प्रतिच्छेद रेखा से जाते हुए किसी तल का समाकरण होगा,
` x + 3y + 6 + lamda ( 3x - y + 4 z ) = 0 `
या ` ( 1 + 3 lamda ) x + ( 3 - lamda ) y + 4 lamda z + 6 = 0 " "`...(3 )
प्रश्न से, मूल बिंदु से तल (3 ) पर खींचे गए लम्ब की लम्बाई = 1
` therefore | ( 6 ) / ( sqrt ( ( 1 + 3lamda ) ^ 2 + ( 3 - lamda ) ^ 2 + ( 4lamda ) ^ 2 ) ) | = 1 `
` rArr ( 6 ) /( sqrt ( ( 1 + 3 lamda ) ^ 2 + ( 3 - lamda ) ^ 2 + ( 4lamda ) ^ 2 )) = pm 1 `
` rArr ( 1 + 3 lamda ) ^2 + ( 3 - lamda ) ^ 2 + ( 4lamda ) ^ 2 = 36 rArr 26 lamda ^ 2 + 10 = 36 `
` rArr lamda ^ 2 = 1 rArr lamda = pm 1 `
(3 ) से,
जब ` lamda = 1 ` तो अभीष्ट तल का समीकरण होगा ` , 4x + 2y + 4z + 6 = 0 `
या ` 2x + y + 2z + 3 = 0 " " `...(4 )
तथा जब ` lamda = - 1 ` तो अभीष्ट तल का समीकरण होगा ` - 2 x + 4y - 4z + 6 = 0 `
या ` x - 2y + 2z - 3 = 0 " " `...(5 )
इन तलों के सदिश समीकरण है,
` vecr * ( 2 hati + hatj + 2 hatk ) + 3 = 0 ` तथा ` vecr * ( hati - 2 hatj + 2 hatk ) - 3 = 0 `