एक समकोण त्रिभुज का परिमाप 144cm है और इसका कर्ण 65 Cm है| दोनों भुजाओं की लम्बाई तथा क्षेत्रफल ज्ञात करें। हीरों के सूत्र से जाँच करें।

Explanation

माना की ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB = 65 cm
` " "BC = a cm , AC =bcm `
` because " "a+b + c+144`
` therefore " " a+ b + 65+144 `
या ` " "a+ b =144 -65=79" "...( i) `
पाइथागोरस प्रमेय से हमें मिलता है
` " " a^(2) +b^(2) =(65) ^(2) `
या ` " "(a+b)^(2) -2ab =( 65) ^(2) `
या `" " (79) ^(2)- 2ab =65^(2)" "[(1) ` से]
या ` " " ( 79)^(2) -(65)^(2) =2ab `
या, ` " "( 79+ 65) (79+65) =2ab`
या ` " "( 144xx 14)/( 2) =ab `
या ` " "ab=7xx 144`
पुनः ` " "( a -b)^(2) =(a+b) ^(2) -4ab = (79)^(2) -4xx 7xx144= 6241-4032=2209" "...(iii) ` से
या ` " "a-b +- sqrt 2209 =+- 47 `
(i ) यदि ` a+b =79` और ` a-b =47`
तो, ` " "(a+b )+ (a-b) =79+47`
या,` " "2a= 126`
या, ` " "a= 63`
a का मान (i ) में रखने पर हमें मिलता है b =16
` (ii ) ` यदि ` a+ b =79` और ` a-b =-47`तो ` (d+b ) +(a-b) =79-47-32`
या, ` " "2a =32" " therefore a=16`
d का मान (i ) में रखने पर हमें मिलता है b =63
अतः त्रिभुज की दो भुजाएं ` 16cm` और 63 Cm है
` " "` त्रिभुज का क्षेत्रफल ` =(1)/(2) ab = (1)/(2) xx 7xx 144cm ^(2) " "...(ii) ` से
`" " = 504cm ^(2) " "...(iv) `
हीरो के सूत्र से जांच:
` " "` त्रिभुज का क्षेत्रफल `= sqrt ( 72(72-16) ( 72-63) ( 72-65) ) cm ^(2) `
` " "= sqrt ( 72xx56xx 9xx7) cm^(2) `
` " " = sqrt (9xx 8xx8xx7xx9xx7) cm ^(2) `
` " "= 9xx 8xx 7 cm ^(2) =504cm ^(2)`
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल =` 504cm ^(2)` जो (iv ) में प्राप्त क्षेत्रफल के बराबर है |