एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा 126 m है और इसका कर्ण तथा दूसरी भुजा का अंतर् 42 m है। दोनों भुजाओं की लम्बाई तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। हीरों के सूत्र से जाँच करें।

Explanation

माना की ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ` angle B =90^(@) ,BC =126m`
` " " AC =bm , AB =cm `
प्रश्न से, ` " "b-c =42m" "...(i)`
पाइथागोरस प्रमेय से ` " "( 126)^(2) =b^(2) -c^(2)`
या, ` " "(126) ^(2) =(b+c) (b-c) `
या, ` " "(126)^(2) =(b+c) (b-c) `
या, ` " " ( 126)^(2) =(b+c) xx 42`
या, ` " "b+c =( 126 xx 126)/( 42) =378`
`therefore " "b+c =378`
(i ) + ( ii ) करने से,` " " 2b =420therefore b= 210`
b का मान (ii ) में रखने पर हमें मिलता है c = 168
` " " ` अब त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ` =(1)/(2) xx BC xx AB = (1)/(2) xx 126 m xx 168m=10584cm ^(2) " "...(iii)`
अतः त्रिभुज की अन्य भुजाएं 168 m , 210 m और क्षेत्रफल 10548 m `^(2 ) ` है|
हीरों का सूत्र :
यहाँ ` " "s= ( a+b+c) /( 2) =( 126+210+168)/( 2) m= (504)/( 2) m =252m `
अतः त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ` =sqrt ( 252(252-126) (252-210)(252-168) )m ^(2) `
` " "= sqrt( 252xx 126xx42xx84)m^(2) `
` " " = sqrt ( 2xx 126xx 126xx 42xx 42xx 2)m^(2) `
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल =10584 `m ^(2 ) ` जो (iii ) में प्राप्त क्षेत्रफल के बराबर है|