एक निर्माता दो सामान A और B बनाता है। सामान A, 200 रू0 प्रति इकाई की दर से बिकती है और निर्माण में 30 मिनट लगते हैं। सामान B, 300 रू0 प्रति इकाई की दर से बिकती है और निर्माण में 1 घंटा लगते हैं। A की 14 इकाई और B की 16 इकाई के लिए मांग है। एक सप्ताह में 40 घंटे निर्माण कार्य होता है एवं साप्ताहिक टर्न-ओवर 10000 रू0 से कम नहीं होना है। यदि A के प्रत्येक नग पर लाभ 20 रू0 एवं B के प्रत्येक नग पर लाभ 30 रू0 हो तो प्रत्येक के कितने नगों का निर्माण किया जाए कि लाभ अधिकतम हो? अधिकतम लाभ निकालें। समस्या का हल आलेखीय विधि से निकालें।

Explanation

माना कि,
उत्पाद `A` तथा `B` के क्रमशः `x` और `y` इकाई उत्पादित किए जाते हैं
तथा कुल लाभ `Z` है,
तो `x` और `y` निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करेंगें।
`200x+300yge10,000`
या `2x+3yge100`
`1/2 x+1.yle40` (चूँकि 30 मिनट = `1/2` घंटा)
या `x+2yle80`
`xge14`
`yge16`
`x, y ge 0,`
रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय रूप निम्नलिखित होगा:
अधिकतमीकरण करें
`z=20x+30y` (लाभ)
जबकि
`2x+3yge100`
`x+2yle80`
`xge14`
`yge16`
`xge0,yge0`
अब हम निम्नलिखित रेखाओं का आलेख खींचते हैं
`2x+3y=100`…..(1)
`x+2y=80`…(2)
`x=14`…….(3)
`y=16`…. (4)
सुसंगत क्षेत्र `SPQR` है जो परिबद्ध है।
सुसंगत क्षेत्र का शीर्ष
`S(26,16)`, `P(48,16)` `Q(14,33)` तथा `R(14,24)` है।
दिया है,
`z=20x+30y`
अतः `S(26,16)` पर `z=1000`
`P(48,16)` पर,`z=1440`
`Q(14,33)` पर,`z=1270`
`R(14,24)` पर,`z=1000`
अतः महत्तम लाभ 1440 रू0 है
तथा इसके लिए उत्पाद A का 48 इकाई और उत्पाद B का 16 इकाई उत्पादित करना होगा।