सिद्ध करो कि `sqrt2` एक परिमेय संख्या नहीं है?

Explanation

सर्वप्रथम हम दीर्घ भाजन विधि के द्वारा 2 का वर्ग मूल ज्ञात करेंगेः

`thereforesqrt2=1.414215`…
स्पष्ट है कि 2 का दशमलव निरूपण न तो सान्त है न ही आवर्ती है। अत: `sqrt2` एक परिमेय संख्या नहीं है।
वैकल्पिक विधिः
यदि संभव है, तो मान लें कि `sqrt2` एक परिमेय संख्या है।
`thereforesqrt2=p/q` [जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं जिनका कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और `qne0` है।]
`rArr2=(p^(2))/(q^(2))` [दोनों पक्षों में वर्ग करने पर]
`rArrp^(2)=2q^(2)`
`rArrp^(2)` एक सम पूर्णांक है|
`rArrp` एक सम पूर्णांक है| [`rArr`यदि 2 सम नहीं है,तो p = 2m + 1, m`inZp^(2)=(2m+1)^(2)=4m^(2)+4m+1`,जो की विषम है। यह इस तथ्य का विरोध करता है कि `p^(2)` सम है।]
`rArr`P = 2m, जहाँ m एक पूर्णांक है।
`rArrp^(2)=4m^(2)`
`rArr2q^(2)=4m^(2)` [(i) का प्रयोग करने पर]
`rArrq^(2)=2m^(2)`
`rArrq^(2)` एक सम पूर्णांक है।
`rArr` q एक सम पूर्णांक है।
अत: p तथा । दोनों सम पूर्णांक हैं और इस कारण इनका एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 2 है। लेकिन यह इस तथ्य का विरोध करता है कि p तथा q, का कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।
अत: 2 एक परिमेय संख्या नहीं है।