यदि n एक पूर्ण वर्ग न हो, तो सिद्ध कीजिये `sqrtn` एक परिमेय संख्या नहीं है।

Explanation

माना कि n एक पूर्ण संख्या है तथा पूर्ण वर्ग नहीं है। यदि संभव हो, तो मान लो कि `sqrtn` एक परिमेय है, जोकि निम्न पदों में `p/q` के बराबर है जहाँ p तथा q का कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।
अब, `p/q=sqrtn`
`rArr(p^(2))/(q^(2))=n`
`rArrp^(2)=nq^(2)`
`rArrn,p^(2)` का एक गुणनखण्ड है। `[becausen,nq^(2)` का एक गुणनखण्ड है तथा `p^(2) = nq^(2)]`
`rArr`np का एक गुणनखण्ड है।
माना p=nm [जहाँ m एक प्राकृतिक संख्या है]
`rArrp^(2)=n^(2)m^(2)`
`rArrnq^(2)=n^(2)m^(2)` [`becausep^(2)=nq^(2)`]
`rArrq^(2)=nm^(2)`
`rArrn,q^(2)` का एक गुणनखण्ड है। `[becausen,nm^(2)` का एक गुणनखण्ड है तथा `q^(2)=nm^(2)]`
`rArr` n,q का एक गुणनखण्ड है।
लेकिन, यदि n, p का एक गुणनखण्ड है तथा n,q का एक गुणनखण्ड है तो इसका यह अर्थ यह हुआ कि n, p तथा दोनों का गुणनखण्ड है। यह इस कल्पना के विपरीत है कि p तथा q का कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है। अत: हमारी कल्पना असत्य है।
अत: `sqrtn` एक परिमेय संख्या नहीं हो सकती है।
टिप्पणीः उपरोक्त उदाहरणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि `sqrt2, sqrt3, sqrt5, sqrt7` इत्यादि परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। इस तथ्य की पुष्टि 3,5, 7 इत्यादि के वर्गमूल की गणना करके भी की जा सकती है।