2 तथा 2.5 के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिये?

Explanation

यदि a तथा b दो धनात्मक परिमेय संख्याएँ इस प्रकार हों कि ab किसी परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग न तो `sqrt(ab)`, a तथा b के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।
`therefore` 2 तथा 2.5 के मध्य `2x 2.5 = sqrt5` एक अपरिमेय संख्या है।
इसी प्रकार, 2 तथा `sqrt5` के मध्य `sqrt(2x sqrt5)` एक अपरिमेय संख्या है।
अत: अभीष्ट संख्याएँ `sqrt5` तथा `sqrt(2x sqrt5)` हैं।
वैकल्पिक विधिः स्पष्टत: 2.101001000100001..., इस प्रकार की एक अपरिमेय संख्या है कि
`2 lt 2.101001000100001... lt 2.5.`
इसी प्रकार, 2.201001000100001 ... इस प्रकार की एक अपरिमेय संख्या है कि
2 `lt 2.101001000100001... lt 2.201001000100001... lt 2.5`
अत: 2.101001000100001 ... तथा 2.201001000100001 ... अभीष्ट अपरिमेय संख्याएँ हैं।