यदि `a+b+c=6` तथा `ab+bc+ca=11` हो , तो `a^(3)+b^(3)+c^(3)-3abc` का मान ज्ञात कीजिये ।

Explanation

हम जानते है कि
` a^(3) + b^(3) + c^(3) - 3abc = (a+b+c) (a^(2)+b^(2) +c^(2) - ab - bc -ca )`
`= a^(3) + b^(3) + c^(3) - 3 abc = ( a+ b+ c) { (a^(2) + b^(2) + c^(2) ) - (ab+ bc + ca)}" " ` …(i)
स्पष्टतः ` a^(3) + b^(3) + c^(3) - 3abc ` का मान ज्ञात करने के लिए हमे `a+bc,a^(2)+b^(2)+c^(2)` तथा `ab+bc+ca` के मानो कि आवश्यकता है । हमे `a+b+c` तथा `ab+bc+ca` के मान ज्ञात है । इसलिए सर्वप्रथम हम `a^(2) + b^(2)+c^(2)` का मान ज्ञात करेंगे ।
हम जानते है कि
`(a+b+c)^(2) = a^(2) + b^(2) + c^(2)+ 2ab + 2bc + 2ca `
` rArr ( a+ b+ c)^(2) = (a^(2) + b^(2) + c^(2) ) + 2 (ab+bc+ ca)`
` rArr 6^(2) = a^(2) + b^(2) + c^(2) + 2 xx 11" " [ a+ b+ c " तथा " ab + bc + ca" के मान रखने पर "]`
` rArr 36 = a^(2) + b^(2) + c^(2) + 22 `
` rArr a^(2) + b^(2) + c^(2) = 36 - 22 `
` rArr a^(2) + b^(2) + c^(2) = 14 `
सर्वसमिका ( i) में `a+b+c = 6 , ab+ bc + ca = 1 ` तथ ` a^(2) + b^(2) + c^(2) ` रखने पर]
` a^(3) + b^(3) + c^(3) - 3abc = 6 xx (14-11) = 6 xx 3 = 18 `