एक समकोण त्रिभुज ABC में, C समकोण है, कर्ण AB का मध्य बिन्दु M है | C को M से मिलते हुए D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM=CM है | बिन्दु D को बिन्दु B से मिलाया जाता है दर्शाइए कि
(i)`DeltaAMC~=DeltaBMD`
(ii)`angleDBC=angleACB=90^(@)`
(iii)`DeltaDBC~=DeltaACB`
(iv)`CM=(1)/(2)AB`

Explanation

(i)`DeltaAMC`तथा `DeltaBMD`में,
`AM=BD " "`[दिया है]
`angleAMC=angleBMD " "`[शीर्षभिमुख कोण]
`MC=MD " "`[दिया है]
अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वागसमता कसौटी से,
`DeltaAMC~=DeltaBMD`
(ii) चूँकि
`DeltaAMC~=DeltaBMD" "`[(i)से]

`rArr " "angleABD=angleCAB" "`[c.p.c.t.]
स्पष्ट है कि AC और DB दो रेखाएँ है तथा रेखा AB इस प्रकार है कि `angleABD=angleCAB`अर्थात एकान्तर कोण समान है |
`:. " "AC || BD`
चूँकि `" "AC || BD` एक तिर्यक रेखा है |
`:. " "angleDBC+angleACB=180^(@)`
`rArr " "angleDB+90^(@)=180^(@)" "[`:'` angleACB=90^(@)(दिया है)]`
`rArr " "angleDBC=90^(@)`
अतः `" "angleDBC=angleACB=90^(@)`
(iii)त्रिभुज DBC तथा `DeltaACB`में
`DB=AC " " [`:'` DeltaAMC~=DeltaBMD :. ak=BD]`
`angleDBC=angleACD=90^(@)" "`[(ii)से]
तथा `" "BC=CB" "`[उभयनिष्ठ]
अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वागसमता कसौटी से,
`DeltaDBC~=DeltaACB`
(iv)
`DeltaDBC~=DeltaACB" "`[(ii)से]
`rArr " "DC=AB " "`[c.p.c.t]
`rArr " "2CM=AB " "`[`:"` M,DC का मध्यबिन्दु है]
`rArr " "CM=(1)/(2)AB`