यदि किसी समकोण त्रिभुज में एक न्यूनकोण दूसरे न्यूनकोण का दुगुना है, तो सिध्द करो कि कर्ण सबसे छोटी भुजा का दुगुना होगा |

Explanation

दिया है: एक `DeltaABC`जिसमें `angleB=90^(@)` तथा `angleACB=2 angleCAB`.
सिध्द करना है: AC=2BC
रचना: BD को D तक इस प्रकार बढ़ाया कि BD=CD तथा AD को मिलाया |
उपपत्ति: `DeltaABD`तथा `DeltaABC`में
BD=BC `" "`[रचना से]
AB=AB `" "`[उभयनिष्ठ भुजा]

तथा, `" "angleABD=angleABC " "`[प्रत्येक `90^(@)`के बराबर]
अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वागसमता कसौटी से
`DeltaABD~=DeltaABC`
`rArr AD=AC`तथा `angleDAB=angleCAB " "`[`:'` सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग समान होते हैं]
`rArr " "AD=AC`तथा `angleDAB=x" [`:'` angleCAB=x]`
अब `" "angleDAC=angleDAB+angleCAB`
`rArr " "angleDAC=x+x=2x`
`rArr " "angleDAC=angleACB " "[`:'` angleACB=2x]`
`rArr " "DC=AD " b
"`[समान कोणों के सम्मुख भुजायें समान होते हैं]
`rArr " "2BC=AD "
"[`:'`BC=DB :. DC=2BC]`
`rArr " "2BC=AC " "[`:'` AD=AC (ऊपर प्रमाणित)]`
अतः कर्ण AC सबसे छोटी भुजा BC का दुगुना है |