एक चतुर्भुज `ABCD` का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ क्रमशः `9` मी, `40` मी., `28` मी तथा `15 ` मी लम्बाई की है और पहली दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है।

Options

A. `300` मी `""^2 `
B. `316` मी `""^2 `
C. `361` मी `""^2 `
D. `306` मी `""^2 `

Answer

D

Explanation

मान लीजिये `ABCD` दिया गया चतुर्भुज इस प्रकार है



दिया हैं,

पहली दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है|
अतः ` angle ABC = 90 ^@ `

तथा `AB = 9`मी, `BC = 40`मी, `CD = 28`मी, `AD = 15`मी

चतुर्भुज `ABCD` का क्षेत्रफल `= ?`

चूंकि आकृति को 2 त्रिभुजों `ADC` और `ABC` में विभाजित किया जा सकता है

अतः चतुर्भुज `ABCD` का क्षेत्रफल ` = ( Delta ABC ` का क्षेत्रफल ) + (` Delta ACD ` का क्षेत्रफल )

`Delta ABC` से, हम `AC` ज्ञात कर सकते हैं|

त्रिभुज `ABC` में,

` AC^ 2 = AB^ 2 + BC^ 2 " " `[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ]

` rArr AC^ 2 = 9 ^ 2 + 40 ^2 = 1681 `

`rArr AC = 41 ` मी

` therefore Delta ABC ` का क्षेत्रफल = ` ( 1 ) / ( 2 ) ` (आधार `xx ` ऊँचाई )

` rArr Delta ABC ` का क्षेत्रफल = ` (1 ) / ( 2 ) ( AB xx BC ) `

` rArr Delta ABC ` का क्षेत्रफल = ` ( 1 )/ ( 2 ) ( 9 xx 40)` मी `""^2 ` = 180 मी `""^2 `

अब ` Delta ACD ` में,

`AC = 41` मी, `CD = 28` मी. तथा `DA = 15` मी

माना की `a =AC = 41` मी, `b = CD = 28` मी तथा `c =DA =15` मी

चूंकि अर्धपरिमाप ` s = ( a + b + c )/2 = ( 41 + 28 + 15 )/2 = 84/2 = 42 `

` therefore Delta ACD ` का क्षेत्रफल ` = sqrt ( s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c )) `

` rArr Delta ACD ` का क्षेत्रफल ` = sqrt ( 42 ( 42 - 41 ) (42 - 28 ) ( 42 - 15 ) ) `

` rArr Delta ACD ` का क्षेत्रफल = ` sqrt ( 42 xx 1 xx14xx 27 ) = sqrt ( 14 xx 3 xx 14 xx 27 ) `

` rArr Delta ACD ` का क्षेत्रफल = ` 14 xx 9 = 126 ` मीटर `""^2 `


अतः चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ` = ( Delta ABC ` का क्षेत्रफल ) + (` Delta ACD ` का क्षेत्रफल )

` = ( 180 + 126 ) ` मी `""^2 `

`=` 306 मी `""^2 `

अतः चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 306 मी `""^2 ` हैं|