किसी विद्यालय के छात्रों ने सफाई अभियान का आयोजन किया। उन्होंने दो समूहों में, विभिन्न गलियों में चक्कर मार्च किया। एक समूह ने `AB`, `BC` तथा `CA` गलियों में मार्च किया तथा अन्य समूह ने `AC`, `CD` और `DA` गलियों में मार्च किया | ( चित्र देखिये ) तत्पश्चात उन्होंने इस गलियों द्वारा घिरे हुए मार्गों की सफाई की। यदि ` AB = 9 ` मीटर , `BC = 40` मीटर , `CD = 15` मीटर , `DA = 28` मीटर, तथा ` angle B = 90 ^@ ` है, तो ज्ञात कीजिए कि किस समूह ने कितनी सफाई की और कितनी अधिक विधियों द्वारा सफाई किया गया, कुल क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिये। ( यह मानकर चलिए कि गलियों की चौडाईयों को छोड़ा जा सकता है।)

Explanation

त्रिभुज ABC में,
` angle B = 90^@ `
` therefore AC^ 2 = AB^ 2 + BC^ 2 " "`[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
` rArr AC^ 2 = 9 ^ 2 + 40 ^2 = 1681 `
` rArr AC = 41 `

त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का अभिकलनः
` Delta _ 1 = Delta ABC ` का क्षेत्रफल ` = ( 1 ) / ( 2 ) ( BC xx AB ) " " [ because angle B = 90 ^@] `
` rArr Delta _ 1 = ( 1 ) /( 2 ) (40 xx 9 ) ` मी. `""^2 ` = 180 मी. `""^2 `
त्रिभुज ACD के क्षेत्रफल का अभिकलनः
मान लीजिये ` Delta ACD ` का परिमाप 2s है | तब,
` 2s = AC + CD + DA = 41 + 15 + 28 = 84 `
` rArr s = 42 ` मी.
` therefore Delta _ 2 = Delta ACD ` का क्षेत्रफल
` rArr Delta _ 2 = sqrt ( s ( s - AC ) (s - CD ) ( s - DA)) `
` rArr Delta _ 2 = sqrt( 42 xx ( 42 - 41 ) xx ( 42 - 15 ) xx ( 42 - 28 )) `
` rArr Delta _ 2 = sqrt ( 42 xx 1 xx27 xx 14 ) = 126` मी. `""^2 `
अतः पहले समूह ने 180 मी. `""^(2) ` तथा दूसरे समूह ने 126 मी `""^2 ` क्षेत्र साफ किया |
साथ ही , ` Delta _1 + Delta _ 2 = (180 + 126 ) ` मी `""^2 ` = 306 मी. `""^2 ` तथा ` Delta _ 1 -Delta _ 2 = (180 - 126 ) ` मी `""^2 ` = 54 मी. `""^ 2 `
अतः पहले समूह ने दूसरे समूह की अपेक्षा 54 मी. `""^2 ` अधिक क्षेत्र साफ किया एवं दोनों समूहों ने मिलकर कुल 306 मी. `""^2 ` क्षेत्र की सफाई की |