P,Q तथा R क्रमशः त्रिभुज ABC की भुजाओं BC,CA तथा AB के मध्य-बिन्दु है। यदि PR और BQ बिन्दु X पर मिलते है तथा CR और PQ बिन्दु Y पर मिलते है, तो सिद्ध कीजिए की

Explanation

दिया है: एक `Delta ABC` जिसमे भुजाओं BC,CA तथा AB के मध्य बिन्दु क्रमशः P,Q तथा R है। PR तथा BQ बिन्दु `X` पर और `CR` तथा `PQ` बिन्दु `Y` पर मिलते है।
रचना X तथा Y मिलाइये।
उपपत्ति चूँकि त्रिभुज की किन्ही दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड तीसरी भुजा के समान्तर तथा उसे आधा होता है। इसलिए `AC` तथा `AB` के मध्य-बिन्दु क्रमशः `Q` तथा `R` है।
`:. RQ||BC` तथा `RQ=(1)/(2)BC " "....(i)`
`rArr RQ|BP` तथा `RQ=BP " " [ :. BC` का मध्य-बिन्दु है `:. (1)/(2) BC=BP]`
`rArr BPQR` एक समान्तर चतुभुर्ज है।

चूँकि समान्तर चतुभुर्ज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित होते है।
`:. PR` का मध्य बिन्दु `X` है। [ `:. ||^(gm)BPQR` के विकर्णों BQ तथा PR का प्रतिच्छेद बिन्दु X है]
इसी प्रकार PQ का मध्य-बिन्दु Y है।
`Delta PQR` में भुजाओं `PR` तथा `PQ` के मध्य-बिन्दुओं को जोड़ने वाला रेखाखण्ड `XY` है।
`:. XY=(1)/(2)RQ`
परन्तु `RQ=(1)/(2)BC`
परन्तु `XY=(1)/(4)BC`