सिद्ध कीजिए की किसी आयत की क्रमागत भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने से प्राप्त चतुभुर्ज एक समचतुभुर्ज होता है।

Explanation

एक आयत `ABCD` जिसमे भुजाओं `AB,BC,CD` तथा `DA` के मध्य-बिन्दु क्रमशः `P,Q,R` तथा `S` है। `PQ,QR,RS` तथा `SP` को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है PQRS के समचतुभुर्ज है।
रचना `AC` को मिलाइये।
उपपत्ति `Delta ABC` में भुजाओं `AB` तथा `BC` के मध्य-बिन्दु क्रमशः P तथा Q है।
`:. PQ||AC` तथा `PQ=(1)/(2) AC " "...(i)`
`Delta ADC` में भुजाओं CD तथा AD के मध्य-बिन्दु क्रमशः R तथा S है।
`:. SR||AC` तथा `SR=(1)/(2) AC " "...(ii)`
(i) तथा (ii) से
`PQ||SR` तथा `PQ=SR " "....(iii)`
`rArr PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है।
`:. ABCD` एक आयत है
`:. AD=BC`
`rArr (1)/(2)AD =(1)/(2) BC`
`rArr AS= BQ" "...(iv)`

`Delta APS` तथा `Delta BPQ` में,
`AP =BP`
`angle PAS= angle PBQ " " [ :. AB` तथा `P` में]
तथा `AS=BQ` [(iv) से]
अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता कसौटी से
`Delta APS~=Delta BPQ`
`rArr PS= PQ [ :.` सर्वांगसम त्रिभुजों के सांगत भाग बराबर होते है].....(v)
(iii) तथा (v) से, हमे यह मिलता है की `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज इस प्रकार है की `PS=PQ` अथार्त दो संलग्न भुजाएं बराबर है।
अतः`PQRS` एक समचतुभुर्ज है।