ABCD एक समचतुभुर्ज है तथा `AB,BC,CD` तथा DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः `P,Q,R,S` है। सिद्ध कीजिए की `PQRS` एक आयत है।

Explanation

दिया है एक समचतुभुर्ज `ABCD` जिसमे भुजाएं `AB,BC,CD` तथा `DA` के मध्य-बिन्दु क्रमशः`P,Q,R,S` है। `PQ,QR,RS` तथा `SP` को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है `PQRS` एक आयत है।
रचना AC को मिलाइये।
उपपत्ति `PARS` को आयत सिद्ध करने के लिए यह प्रदर्शित करना पर्याप्त है की `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है जिसका एक कोण समकोण है। सर्वप्रथम हम यह सिद्ध करेंगे की `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है।
`Delta ABC` में AB तथा BC के मध्य-बिन्दु क्रमशः P तथा Q है।
`:. RS||AC` तथा `RS=(1)/(2)AC " "...(ii)`
(i) तथा (ii) से
`PQ||RS` से तथा `PQ=RS`

अतः PQRS एक ऐसी चतुभुर्ज है की जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म `PQ` तथा `SR` बराबर तथा समान्तर है।
अतः `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है।
अब हम सिद्ध करेंगे की समान्तर चतुर्भुर्ज PQRS का कोण समकोण हैं।
`ABCD` एक समचतुभुर्ज है।
`:. AB=BC" "` [ `:. `एक समचतुभुर्ज की सभी भुजाएं बराबर होती है]
`rArr (1)/(2)AB=(1)/(2)BC`
`rArr PB=BQ " " [ :. AB` तथा `BC` के मध्य-बिन्दु कमशः P तथा Q है]...(i)
`Delta PBQ` में,
`PB=BQ`
`rArr angle1=angle2 " " [ :. ` बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते है]....(ii)
पुनः `ABCD` एक समचतुभुर्ज है।
`rArr AB=BC=CD=AD`
`rArr AB=BC,CD=AD`
`rArr (1)/(2)AB=(1)/(2)BC, (1)/(2)CD=(1)/(2)AD`
`rArr AP=CQ,CR=AS" "....(iii)`
अब `Delta APS` तथा `DeltaCQR" ....(iii)` में
`AP=CQ " "[(iii)` से]
`AS=CR " "[ (iii)` से]]
तथा `PS=QR" " [ :. PQRS PQRS||^(gm)` है `:. PS=QR`]
अतः भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसतमा कसौटी से
`Delta APS~= Delta CQR`
`rArr angle 3= angle 4 " " [ :. ` सर्वांगसम त्रिभुजों के सांगत भाग बराबर होते है।]......(iv)
अब `angle3+angleSPQ+angle2=180^(@)` तथा `angle1+anglePQR+angle4=180^(@)`
`:. angle 3+angleSPQ+angle2=angle1+anglePQR=angle4`
`angleSPQ=anglePQR " " [ :. angle1=angle2,(ii)` से तथा `angle3=angle4 (iv)`से]....(iv)
चूँकि तिर्यक रेखा PQ समान्तर रेखाओं SP तथा RQ को क्रमश P तथा Q पर काटती है ।
`:. angleSPQ+anglePQR=180^(@)`
`rArr angle SPQ+ angle SPQ=180^(@)" "`[(v)प्रयोग करने पर]
`rArr angle SPQ=90^(@)`
अतः `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज इस प्रकार है की `angle SPQ=90^(@)`
अतः `PQRS` एक आयत है।