किसी चतुभुर्ज `ABCD` के विकर्ण परस्पर लम्ब है। प्रदर्शित कजिये की इसकी भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने से बना चतुभुर्ज एक आयत होगा।

Explanation

एक चतुभुर्ज `ABCD` जिसके विकर्ण `AC` तथा `BD` परस्पर लम्ब है। भुजाओं `AB,BC,CD` तथा DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः`P,Q,R,S` है। `PQ,QR,RS,` तथा ``SP को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है `PQRS` का आयत है।
उपपत्ति `Delta ABC` में AB तथा BC के मध्य-बिन्दु क्रमशः P तथा Q है।
`:. PQ||AC` तथा `PQ=(1)/(2)AC " "...(i)`
`Delta ADC` में CD तथा AD के मध्य-बिन्दु क्रमश R तथा S है।
`:. RS||AC` तथा `RS=(1)/(2)A" "...(ii)`

(i) तथा (ii) से
`PQ||RS` तथा `PQ=RS`
अतः चतुभुर्ज `PQRS` में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर तथा समान्तर है।
अतः `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है।
मान लीजिये की चतुभुर्ज `ABCD` के विकर्ण AC तथा BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते है। चूँकि `Delta ABD` में AB तथा `AD` के मध्य-बिन्दु क्रमशः P तथा S है।
`:. PS ||BD`
`rArr PN ||MO`
(i) से `PQ||AC`
`rArr PM||NO`
अतः चतुभुर्ज `PMON` में,
`PM||MO` तथा `PM||NO`
`rArr PMON` एक समान्तर चतुभुर्ज है।
`rArr angle MPN= angle MON " " [ :. ||^(gm)` के सम्मुख कोण बराबर होते है]
`rArr angle MPN= angle BOA " " [ :. angleBOA= angle MON]`
`rArr angle MPN=90^(@) " " [ :. AC bot BD :. angle BOA=90^(@)]`
`rArr angle QPS=90^(@)" " [ :. angleMPN=angle QPS]`
अतः `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है जिसका एक कोण `angle QPS=90^(@)` है।
अतः `PQRS` एक आयत है।