प्रदर्शित कीजिए की वर्ग की भुजाओं के मध्य-बिन्दूओं को मिलाने से प्राप्त चतुभुर्ज है भी एक वर्ग होता है।

Explanation

एक वर्ग `ABCD` जिसमे भुजाओं `AB,BC,CD,DA` के मध्य-बिन्दु क्रमशः `P,Q,R,S` है। `PQ,QR,RS` तथा `SP` को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: PQRS एक वर्ग है।
रचना AC तथा BD मिलाइये।
उपपत्ति `Delta ABC` में भुजाओं AB तथा AD के मध्य-बिन्दु क्रमशः `P` तथा `Q` है।
`:. PQ||AC` तथा `PQ=(1)/(2)AC " "...(i)`
`DeltaADC` में भुजाओं `CD` तथा `AD` एक मध्य-बिन्दु क्रमशः R तथा S है।

`:. RS||AC` तथा `RS=(1)/(2)AC " "...(ii)`
(i) तथा (ii) से
`PQ||RS` तथा `PQ=RS " "....(iii)`
अतः चतुभुर्ज `PQRS` में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर तथा समान्तर है।
अतः `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है।
`:. ABCD` एक वर्ग है।
`:. AB=BC=CD=DA`
`rArr (1)/(2)AB=(1)/(2)CD` तथा `(1)/(2) AB=(1)/(2)BC`
`rArr PB=CR` तथा `BQ=CQ`
अतः `DeltaPBQ ` तथा `Delta RCQ` में
`PB=RC`
`BQ=CQ`
तथा `anglePBQ=angle RCQ" "` [प्रत्येक कोण `90^(@)`]
अतः भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमत कसौटी से
`DeltaPBQ~=DeltaRCQ`
`rArr PQ=QR " "...(iv) [ :.` सर्वांगसम त्रिभुजों के सम्मुख भाग बराबर होते है]
(iii) तथा (iv) से
`PQ=QR=RS`
परन्तु `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है।
`QR=PS`
इसलिए `PQ=QR=RS=PS " "....(v)`
अब `PQ||AC" "` [(i)से]
`rArr PM ||NO " " (vi)`
चूँकि `AB` तथा `AD` के मध्य-बिन्दु क्रमशः P तथा S है।
`:. PS||BD`
`rArr PN||MO " "...(vii)`
अतः `PMON` में
`PM||NO" " [(vi)` से ]
तथा `PN||MO " "[(vii)` से]
अतः `PMON` एक समान्तर चतुभुर्ज है।
`rArr angle MPN= angle MON`
`rArr angle MPN= angle BOA" " [ :. angleMON= angle BOA] `
`rArr angle MPN =90^(@)" " [{:( :. "वर्ग के विकर्ण लम्ब होते है "),( :. AC bot BD rArr angle BOA=90^(@)):}]`
`rArr QPS =90^(@)`
अतः `PQRS` एक समान्तर चतुभुर्ज है इस प्रकार है की `PQ=QR=RS=SP` तथा `angleQPS=90^(@)`
अतः `PQRS` एक वर्ग है।