सिध्द करो कि किसी समबाहु त्रिभुज में त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) व इसके परिगत वृत्त का केंद्र (परिकेन्द्र) एक दूसरे के सम्पाती होते हैं ।

Explanation

दिया है: एक समबाहु त्रिभुज ABC जिसकी भुजाओ BC, CA तथा AB के मध्य-बिन्दु क्रमश: D, E तथा F हैं ।
सिध्द करना है: `Delta ABC` का केन्द्रक तथा परिकेन्द्र एक दूसरे के संपाती हैं । अर्थात केन्द्रक व परिकेन्द्र एक ही बिन्दु है ।
रचना: माध्यिकाएँ AD, BE तथा CF खींचो ।
उपपति: माना G, त्रिभुज ABC का केन्द्रक है, तो G, माध्यिकाओ AD, BE तथा CF का संगमन बिन्दु (Point of concurrence) होगा ।
अब `Delta BFC` तथा `Delta CEB` में हम देखते हैं, कि
`angle B = angle C = 60^(@)" "[because "समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60"^(@) "का होता है"]`
`BC = BC " "[because "उभयनिष्ठ भुजा"]`
तथा `BF = CF " "[because AB = AC rArr (1)/(2) AB = (1)/(2) AC rArr BF = CF]`
अत: भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता कसौटी से
`Delta BEC ~= Delta BFC`
`rArr" "BF = CF" "...(i)`
[`because` सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग समान होते हैं ।]
इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि
`Delta CAF ~= Delta CAD`
`rArr" "CF = AD" "...(ii)`
अत: (i) व (ii) से
`AD = BE = CF`
`rArr" "(2)/(3)AD=(2)/(3)BE=(2)/(3)CF`
`rArr" "GA = GB = GC" "[{:(because "G केन्द्रक है तथा AD माध्यिका है ।"),(because GA : GD = 2 : 1):}]`
`rArr` बिन्दु `G, Delta ABC` के तीनो शीर्षो से समान दूरी होगा ।
`rArr" "G, Delta ABC` का परिकेन्द्र होगा ।
अत: समबाहु त्रिभुज ABC का केन्द्रक तथा परिकेन्द्र एक ही बिन्दु हैं ।