एक वृत्त C(O, r) की दो समान लम्बाई की जीवाओ `AB` तथा `CD` को यदि आगे बढ़ाया जाये तो ये बिन्दु E पर मिलती हैं जैसा की चित्र में दर्शाया गया है । सिध्द करो कि `BE = DE` तथा `AE = CE` होगा।

Explanation

दिया है : वृत्त C(O, r) की दो जिवाएँ AB तथा AC इस प्रकार हैं कि AB = CD तथा ये जिवाएँ आगे बढ़ाने पर एक दूसरे को बिन्दु E पर काटती है ।
सिध्द करना है : BE = DE तथा AE = CE
रचना : OE को मिलाया तथा O से `OL bot AB` व `OM bot CD` खींचा ।
उपपति : हमे दिया गया है कि :
AB = CD
`rArr" "OL = OM" "...(i)` [समान जिवाएँ केन्द्र से समान दूरी पर होती हैं ।]
`because " "OL bot AB rArr AL = LB = (1)/(2) AB" "...(ii)`
तथा `OM bot CD rArr CM = DM = (1)/(2)CD" "...(iii)`
अब `Delta OLE` तथा `Delta OME` में हम देखते हैं कि
OL = OM [समीकरण (i) से]
`angle OLE = angle OME = 90^(@)`
तथा OE = OE [उभयनिष्ठ भुजा]
अत:, RHS सर्वांगसमता कसौटी से
`Delta OLE ~= Delta OME`
`rArr" "LE = ME" "...(iv)`
[`because` सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग समान होते हैं]
`rArr" "LB + BE = MD + DE`
`rArr" "(1)/(2)AB + BE = (1)/(2)CD + DE" "` [(ii) व (iii) से]
`rArr" "BE = DE" "[because AB = CD because (1)/(2)AD = (1)/(2)CD]`
`rArr" "AB + BE = AB + DE` [दोनों तरफ AB जोड़ने पर]
`rArr" "AB + BE = CD + DE" "[because AB = CD]`
`rArr" "AE = CE`