सिध्द करो कि किसी वृत्त की दो जिवाएँ एक दूसरे को समद्विभाजित करती हो, तो ये जिवाएँ वृत्त के व्यास होगी ।

Explanation

माना किसी दिए गए वृत्त की दो जिवाएँ AB तथा CD एक दूसरे को बिन्दु O पर समद्विभाजित करती हैं । AC, BD, AD तथा BC को मिलाइये ।
`Delta AOC` तथा `Delta BOD` में
OA = OB [`because` O, जीवा AB का मध्य-बिन्दु है ।]
OC = OD [`because` O, जीवा CD का मध्य-बिन्दु है ।]
तथा `angle AOC = angle BOD` [शीर्षाभिमुख कोण]
अत: भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता कसौटी से
`Delta AOC ~= Delta BOD`
`rArr" "AC = BD " "[because "सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग समान होते हैं"]`
`rArr" "overset(frown)(AC) = overset(frown)(BD)" "...(i)" "[because "समान जिवाओ के संगत चाप भी समान होते हैं"]`
`Delta AOD` तथा `Delta BOC` में
OA = OB [`because` O, AB का मध्य-बिन्दु है]
OC = OD [`because` O, CD का भी मध्य-बिन्दु है]
तथा `angle AOD = angle BOC` [शीर्षाभिमुख कोण]
`rArr" "Delta AOD ~= Delta BOC`
`rArr" "AD = BC`
`rArr" "overset(frown)(AD) = overset(frown)(BC)`
(i) व (ii) के संगत पक्षों को जोड़ने पर
`overset(frown)(AC) + overset(frown)(AD) = overset(frown)(BD) + overset(frown)(BC)`
`rArr" "overset(frown)(CAD) = overset(frown)(CBD)`
`rArr` जीवा CD वृत्त को दो बराबर भागो में बाँटती है ।
`rArr` जीवा CD वृत्त का व्यास होगी ।
इसी प्रकार, जीवा AB भी वृत्त का व्यास होगी ।