AC और BD एक वृत्त की जिवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं । सिध्द कीजिए कि :
(i) AC और BD व्यास हैं ।
(ii) ABCD एक आयत है ।

Explanation

(i) माना AC और BD बिन्दु O पर एक दूसरे को समद्विभाजित करती हैं ।
`therefore" "OA = OC` तथा `OB = OD" "...(i)`
त्रिभुजों AOB तथा COD में
OA = OC [(i) से]
OB = OD [(i) से]
तथा `angle AOB = angle COD" "` [शीर्षाभिमुख कोण]
अत: भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता कसौटी से
`Delta AOB ~= Delta COD`
`rArr" "AB = CD`
`rArr" "overset(frown)(AB) ~= overset(frown)(CD)" "...(ii)`
इसी प्रकार
`overset(frown)(BC) ~= overset(frown)(DA)" "...(iii)`
(i) व (ii) से
`overset(frown)(AB)+overset(frown)(BC) = overset(frown)(CD) + overset(frown)(DA)`
`rArr" "overset(frown)(ABC) = overset(frown)(CDA)`
`rArr" "overset(frown)(AC)` वृत्त को दो बराबर भागो में विभाजित करता है ।
`rArr" "overset(frown)(AC)` वृत्त का एक व्यास है ।
इसी प्रकार यह सिध्द किया जा सकता है कि BD भी वृत्त का एक व्यास है ।
(ii) चूँकि AC तथा BD वृत्त के व्यास हैं ।
`therefore" "angle ABC = 90^(@) = angle ADC" "` [अर्ध वृत्त में बने कोण]
तथा `angle BCD = angle BAD = 90^(@)`
(i) तथा (ii), से हम कह सकते हैं कि
AB = CD तथा BC = DA
अत: ABCD एक आयत है ।