यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन `9q,9q+1` या, `9q+8` के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

Explanation

माना कि x कोई धनात्मक पूर्णांक है। हम जानते है कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक 3q या 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का होता है।
अतः हमारे पास निम्नलिखित स्थितियाँ है :
स्थिति I : जब x = 3q है।
इस स्थिति में,
`x^(3)=(3q)^(3)=27q^(3)=9(3q^(3))=9m`, जहाँ `m=3q^(3)` है।
स्थिति II : जब `x=3q+1` है।
इस स्थिति में,
`x^(3)=(3q+1)^(3)`
`rArr x^(3)=27q^(3)+27q^(2)+9q+1`
`rArr x^(3)=9q(3q^(2)+3q+1)+1`
`rArr x^(3)=9m+1`, जहाँ `m=q(3q^(2)+3q+1)` है।
स्थिति III : जब `x=3q+2` है।
इस स्थिति में,
`x^(3) =(3q+2)^(3)`
`rArr x^(3)=27q^(3)+54q^(2)+36q+8`
`rArr x^(3)=9q(3q^(2)+6q+4)+8`
`rArr x^(3)=9m+8`, जहाँ `m=q(3q^(2)+6q+4)`
अतः `x^(3), 9m` या, 9m + 1 या, 9m + 8 के रूप का है।