किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए दर्शाइए कि `n,n+2` या, `n+4` में से एक और एकमात्र एक ही 3 से विभाज्य होता है।

Explanation

हमें ज्ञात है कि कोई भी धनात्मक पूर्णांक 3q या, 3q + 1 या, 3q + 2 के रूप का होता है तथा इनमें से एक और केवल एक ही संभव होता है।
अतः हमारे पास निम्नलिखित तीन स्थितियाँ हैं।
स्थिति I : जब n = 3q है।
इस स्थिति में,
n = 3q , जो 3 द्वारा विभाजित होता है।
अब `n=3q `
`rArr n+2 = 3q +2`
`rArr n +2 ` को जब 3 से विभक्त करते है , तो शेषफल 2 प्राप्त होता है।
`rArr n+2, 3 ` विभाज्य नहीं है।
पुनः `n =3q `
`rArr n+4 =3q +4=3(q+1)+1`
`rArr n+4` को जब 3 से विभक्त करते है तो शेषफल 1 प्राप्त होता है।
`rArr n +4 , 3 ` से विभाज्य नहीं है।
अतः n , 3 से विभाज्य है परन्तु n + 2 और n +4 , 3 से विभाज्य नहीं है।
स्थिति II : जब `n=3q +1`
इस स्थिति में,
`n=3q+1`
`rArr n` को जब 3 से विभाजित करते है, तो शेषफल 1 प्राप्त है।
`rArr n +2 ,` 3 से विभाज्य नहीं है।
अब, `n=3q+1`
`rArr n+2=(3q+1)+2=3(q+1)`
`rArr n+2,` 3 से विभाज्य है।
पुनः `n=3q+1`
`rArr n+4=3q+1+4=3q+5=3(q+1)+2`
`rArr n+4` को जब 3 से विभक्त करते है, तो शेषफल 2 प्राप्त होता है।
`rArr n+4`, 3 से विभाज्य नहीं है।
इस स्थिति में n + 2 , 3 से विभाज्य है परन्तु n और n + 4 , 3 से विभाज्य नहीं है।
स्थिति III : जब `n=3q +2` है ।
इस स्थिति में,
`n=3q+2`
`rArr ` n को जब 3 से विभक्त करते है, तो शेषफल 2 बचता है।
`rArr ` n , 3 से विभाज्य नहीं है।
अब, `n=3q+2`
`rArr n+2=3q+2+2=3(q+1)+1`
`rArr n+2` को जब 3 से विभाजन करते है, तो शेषफल 1 बचता है।
`rArr n +2 `, 3 से विभाज्य नहीं है।
अब, `n=3q+2`
`rArr n+4=3q+2+4=3(q+2)`
`rArr n+4`, 3 से विभाज्य है।
इस स्थिति में `n+4,3` से विभाज्य है परन्तु n और n + 2 , 3 से विभाज्य नहीं है।