81 और 237 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए तथा इसे 81 और 237 के रूप में व्यक्त कीजिए।

Explanation

दिए गए पूर्णांक 81 और 237 इस प्रकार है कि `81 lt 237`
अतः 81 और 237 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके निम्न प्राप्त होता है :
`237=81xx2+75 " " ` ... (i)

क्योंकि शेषफल `75 ne 0` है। अतः भाजक 81 और शेषफल 75 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर निम्न प्राप्त होता है।
`81=75xx1+6 " " `...(ii)

अब, नये भाजक 75 तथा नये शेषफल 6 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर निम्न प्राप्त होता है :
`75=6xx12+3 " " `... (iii)

अब, नये भाजक 6 और नये शेषफल 3 के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर निम्न प्राप्त होता है :
`6=3xx2+0 " " `... (iv)

इस स्थिति पर शेषफल शून्य है। अतः इस स्थिति पर भाजक या पूर्व स्थिति पर शेषफल अर्थात 3 ही, 81 और 237 का महत्तम समापवर्तक है।
दी गई दोनों संख्याओं के महत्तम समापवर्तक को 81 और 237 के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम अंतिम से पहल चरण से प्रारम्भ करते है तथा पूर्व चरणों में प्राप्त शेषफलों को क्रमबद्ध रूप से निम्न प्रकार विलोपित करते जाते है :
समीकरण (iii ) से
`3=75-6xx12`
`rArr 3=75-(81-75xx1)xx12 " " `[(ii) से `6=81-75xx1` प्रतिस्थापित करने पर ]
`rArr 3=75-12xx81+12xx75`
`rArr 3=13xx75-12xx81 " " ` [ (i) से `75=237-81xx2` प्रतिस्थापित करने पर]
`rArr 3=13xx(237-81xx2)-12xx81`
`rArr 3=13xx237-26xx81-12xx81`
`rArr 3=13xx237-38xx81`
`rArr 3=237x+81y`, जहाँ x = 13 तथा y = -38 है।