पूर्णांकों 65 और 117 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए तथा इसको `65m+117n` के रूप में व्यक्त कीजिए।

Explanation

दिए गए पूर्णांक 65 और 117 इस प्रकार है कि `117 gt 65`
65 और 117 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर निम्न प्राप्त होता है :
`117=65xx1+52 " " `...(i)

क्योंकि शेषफल `52 ne 0 ` है। अतः भाजक 65 तथा शेषफल 52 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर निम्न प्राप्त करते है :
`65=52xx1+13 " " `...(ii)

अब, नये भाजक 52 तथा नये शेषफल 13 पर विचार करते है इन यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर निम्न प्राप्त होता है :
`52=13xx4+0 " " `...(iii)
इस स्थिति में शेषफल शून्य है।अतः इस चरण में भाजक या पूर्व चरण में शेषफल अर्थात 13 ही 65 और 117 का महत्मा समापवर्तक है।
समीकरण (ii ) से,
`13=65-52xx1`
`rArr 13=65-(117-65xx1) " "` [(i) से `52=117-65xx1` को प्रतिस्थापित करने पर]
`rArr 13 =65-117+65xx1`
`rArr 13=65xx2+117xx(-1)`
`rArr 13=65-117+65xx1`
`rArr 13=65m+117n,` जहाँ m = 2 तथा n = -1 है।