सिद्ध कीजिए कि `sqrt(2)` एक अपरिमेय संख्या है ।

Explanation

आइए हम इसके विपरीत यह मन लेते है कि `sqrt(2) ` एक परिमेय संख्या है, तो दो पूर्णांक a और b इस प्रकार विद्यमान होंगे कि
`sqrt(2)=(a)/(b)`, जहाँ a और b सह-अभाज्य संख्याएँ है।
`rArr (sqrt(2))^(2)=((a)/(b))^(2)`
`rArr 2=(a^(2))/(b^(2))`
`rArr 2b^(2)=a^(2)`
`rArr 2।a^(2) " " [because 2।2b^(2) " तथा "2b^(2)=a^(2)]`
`rArr 2।a^(2) " " `[प्रमेय 2 से]... (i)
`rArr a=2c`, जहाँ c एक पूर्णांक है।
`rArr a^(2)=4c^(2)`
`rArr 2b^(2)=4c^(2) " " [ because 2b^(2) =a^(2)]`
`rArr b^(2)=2c^(2)`
`rArr 2।b^(2) " "[because2। 2c^(2)]`
`rArr 2।b " " `... (ii)
समीकरण (i ) तथा (ii ) से हम कह सकते है है कि a और b का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। परन्तु यह इस तथ्य का विरोध करता है कि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ नहीं है। अतः हमारी परिकल्पना गलत है।
अतः `sqrt(2)` अपरिमेय संख्या है।