सिद्ध कीजिए कि `sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है ।

Explanation

आइए हम इसके विपरीत यह मान लेते है कि `sqrt(3)` एक परिमेय संख्या है, तो इस प्रकार के दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b विद्यमान होंगे कि
`sqrt(3)=(a)/(b)`
`rArr 3=(a^(2))/(b^(2))`
`rArr 3b^(2)=a^(2)`
`rArr 3।a^(2) " " [because 3।3b^(2)]`
`rArr 3।a " " `...(i)
`rArr a=3c` जहाँ c एक पूर्णांक है।
`rArr a^(2)=9c^(2)`
`rArr 3b^(2)=9c^(2) " " [because a^(2)=3b^(2)]`
`rArr b^(2)=3c^t(2)`
`rArr 3।b^(2) " " [because 3।3c^(2)]`
`rArr 3।b " " `... (ii)
समीकरण (i ) तथा (ii ) से हम कह सकते है कि a और b का कम से कम एक गुणनखंड 3 है । परन्तु यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि a और b सह-अभाज्य है। इसका अर्थ यह है कि हमारी परिकल्पना सही नहीं है।
अतः `sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है।