निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में युग्म का हल ज्ञात कीजिए।
`2x+3y=7`
`6x+5y=11`

Explanation

दिए समीकरण युग्म को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है :
`2x+3y-7=0 " "`...(i)
`6x+5y-11=0 " "`...(i)
इसकी तुलना समीकरण युग्म
`a_(1)x+b_(1)y+c_(1)=0`
`a_(2)x+b_(2)y+c_(2)=0`
से करने पर
`a_(1)=2, b_(1)=3, c_(1)=-7` तथा `a_(2)=6,b_(2)5, c_(2)=-11`
`therefore (a_(1))/(a_(2))=(2)/(6)=(1)/(3)` तथा `(b_(1))/(b_(2))=(3)/(5)`
स्पष्ट है की `(1)/(3) ne (3)/(5)` अर्थात `(a_(1))/(a_(2)) ne(b_(1))/(b_(2))` है। अतः दिए गए समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा। वज्र गुणन विधि द्वारा अद्वितीय हल ज्ञात करने के लिए समीकरण (i ) और (ii ) को पुनः लिखने पर
`2x+3y-7=0`
`6x+5y-11=0`
वज्र गुणन विधि से
`(x)/(-33+35)=(y)/(-42+22)=(1)/(10-18)`
`rArr (x)/(2) =(y)/(-20)=(1)/(-8)`
`rArr (x)/(2) =(1)/(-8)` और `(y)/(-20)=(1)/(-8)`
`rArr x=(2)/(-8)` और `y=(-20)/(-8)`
`rArr x= -(1)/(4) ` और `y=(5)/(2)`
अतः `x=-(1)/(4), y=(5)/(2)` दिए गए समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है।