k के वे मान ज्ञात करो जिनके लिए समीकरण युग्म `kx-y=2, 6x-2y=3`
(i) का अद्वितीय हल है। (ii) का कोई हल न हो।
क्या k का ऐसा मान भी है जिसके लिए युग्म के अनंत हल संभव हों ?

Explanation

दिए गए समीकरण युग्म को निम्न रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है :
`kx-y-2=0`
`6x-2y-3=0`
इस समीकरण युग्म की तुलना निम्न समीकरण युग्म
`a_(1)x+b_(1)y+c_(1)=0 `
`a_(2)x+b_(2)y+c_(2)=0`
से करने पर
`a_(1)=k, b_(1)=-1, c_(1)=-2` तथा `a_(2)=6, b_(2)=-2, c_(2)=-3`
उपरोक्त समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा, यदि
`(a_(1))/(a_(2)) ne (b_(1))/(b_(2)) rArr (k)/(6) ne (-1)/(-2) rArr k ne 3`
अतः दिए गए समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा यदि k का मान 3 के अलावा अन्य कोई भी वास्तविक संख्या हो ।
(ii ) दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा, यदि
`(a_(1))/(a_(2)) = (b_(1))/(b_(2)) ne (c_(1))/(c_(2))`
` because (b_(1))/(b_(2)) =(-1)/(-2)=(1)/(2)` तथा `(c_(1))/(c_(2))=(-2)/(-3)=(2)/(3)`
`(b_(1))/(b_(2)) ne (c_(1))/(c_(2))`
अतः दिये समीकरण युग्म को कोई हल नहीं होगा, यदि
`(a_(1))/(a_(2)) =(b_(1))/(b_(2)) rArr (k)/(6)=(1)/(2) rArr k =3`
दिए गए समीकरण युग्म के अनंत हल होंगे, यदि `(a_(1))/(a_(2))=(b_(1))/(b_(2))=(c_(1))/(c_(2))`
स्पष्ट है कि `(b_(1))/(b_(2))=(1)/(2)` तथा `(c_(1))/(c_(2)) =(2)/(3)`
`therefore (b_(1))/(b_(2)) ne (c_(1))/(c_(2))`
अतः `(a_(1))/(a_(2)) =(b_(1))/(b_(2))=(c_(1))/(c_(2))` कभी भी संभव नहीं है। अतः k का ऐसा मान नहीं है जिसके लिए दिए गए समीकरण युग्म के अनंत हल संभव हों ।