सिद्ध करो की किसी त्रिभुज ABC की तीनो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने से जो चार त्रिभुज , `Delta ABC ` के समरूप होते है|

Explanation

एक `Delta ABC ` जिसकी भुजाओ BC ,CA और AB के मध्य बिंदु क्रमशः D ,E और F है|DE EF और FD को मिलाने पर हमें निम्न चार त्रिभुज प्राप्त होते है:
उपपति: हम जानते है की किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर तथा उसकी आधी होती है| स्पष्ट है की `Delta ABC ` में E और F क्रमशः भुजाओं AC और AB के मध्य बिंदु है|
` therefore " "FE||BC `
`rArr" "angle AFE =angle B " " ` [संगत कोण]
अतः ` Delta AFE ` और ` Delta ABC ` में
` " "angle AFE =angle B `
तथा ` " "angle A =angle A `
` therefore " "Delta AFE ~ Delta ABC ` [समरूपता की AA कसौटी से]
इसी प्रकार चूँकि ` DE||AB ` और ` DF||CA ` है|अतः ` Delta EDC ~ Delta ABC ` और ` Delta FDA ~ Delta ABC ` होगा| अब हमें यह सिद्ध करना है की ` Delta DEF ` भी ` Delta ABC ` के समरूप होगा|चूँकि E और F क्रमशः भुजाओं AC और AB के मध्य बिंदु है|
` therefore " "FE =(1)/(2) BC `
इसी प्रकार ` DE =(1)/(2) AB ` तथा ` DF =(1)/(2) AC `
अतः ` (DE)/(AB) =(DF)/(AC) =(EF)/(BC) =(1)/(2) `
`rArr " "Delta DEF` और ` Delta ABC ` की भुजाओं समानुपाती है|
`rArr " "Delta DEF ~ Delta ABC `
अतः ` Delta AFE , Delta FBD ,Delta EDC ` और ` Delta DEF ` प्रत्येक ` Delta ABC ` के समरूप है |