सिद्ध करो की किसी समबाहु त्रिभुज की किसी भुई भुजा के वर्ग का तीन गुना उसकी ऊंचाई के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है|

Explanation

माना ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें AD भुजा BC पर लम्ब है अर्थात AD भुजा BC के संगत ऊंचाई है|
` Delta ADB ` और ` Delta ADC ` में
` " "AB = AC " " [because ` ABC एक समबाहु त्रिभुज है]
` " " angle B =angle C = 60^(@) " " ` [समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण ` 60^(@) ` का होता है]
तथा ` " "angle ADB =angle ADC = 90^(@) " " [because AD bot BC ]`
अतः सर्वांगसमता की AAS कसौटी से
` " "Delta ADB ~= Delta ADC `
` rArr " "BD =CD " "[because ` सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएं समान होती है]
`rArr " "BD=CD =(1)/(2) BC `
समकोण ` Delta ADB ` में पाइथागोरस प्रमेय से
` " "AB^(2) =AD^(2) +BD^(2) `
` rArr" "AB^(2) =AD^(2) +((1)/(2) BC)^(2)`
` rArr " "AB^(2) =AD^(2) +(1)/(2) AB^(2) " "[because BC = AB=AC ]`
` rArr " "(3)/(4) AB^(2) =AD^(2) `
`rArr " "3AB ^(2) = 4AD^(2) `
अतः ` " " ` 3 (भुजा )`""^(2 ) ` =4 (ऊंचाई )`""^(2 ) `