एक त्रिभुज ABC के अंदर एक बिंदु O स्थित है, जहाँ से इनकी भुजाओं और AB पर क्रमशः OD , OE और OF लम्ब डाले गए है|सिद्ध करो की :
`(i) AF^(2) +BD^(2) +CE^(2) =OA^(2) +OB^(2) +OC^(2) -OD^(2) -OE^(2) -OF^(2)`
` (ii) AF^(2)+ BD^(2) +CE^(2) =AE^(2) +CD^(2) +BF^(2) `

Explanation

दिया है: एक ` Delta ABC ` जिसके अंदर बिंदु O स्थित है जहाँ से इनकी भुजाओं BC , CA और AB पर OD , OE और OF लम्ब डाले गए है |
सिद्ध करना है: ` (i) AF^(2) +BD^(2) +CE^(2) =OA^(2) +OB^(2) +OC^(2) -OD^(2) -OE^(2) -OF^(2) `
` " "(ii) AF^(2)+ BD^(2) +CE^(2) =AE^(2) +CE^(2) +BF^(2) `
उपपति : (i ) समकोण त्रिभुजों OFA , ODB और OEC में पाइथागोरस प्रमेय से
` " "OA^(2) =OF^(2) +AF^(2) `
` " "OB ^(2) =OD^(2) +BD^(2) `
` " "OC ^(2) =OE^(2) +CE^(2) `
(i ), (ii ) और (iii )को जोड़ने पर
` " "OA^(2) +OB^(2) +OC^(2) =OF^(2) +AF^(2) +OD^(2) +BD^(2) +OE^(2) +CE^(2) `
` rArr " "AF^(2) +BD^(2) +CE^(2) =OA^(2) +OB^(2) +OC^(2) -OD^(2) -OE^(2) -OF^(2)`
(ii ) समकोण त्रिभुजों ODB और ODC में पाइथागोरस प्रमेय से
` " "OB^(2) =OD^(2) +BD^(2) ` तथा ` OC^(2) =OD^(2) +CD^(2)`
दोनों को घटाने पर
` " "OB^(2) -OC^(2) =OD^(2) +BD^(2) -OD^(2) -CD^(2) `
` rArr " "OB^(2) -OC^(2) =BD^(2) -CD^(2) " "...(i)`
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते है की
` " "OC^(2) -OA^(2) =CE^(2) -AE^(2) " "...(ii)`
तथा, ` " "OA^(2) -OB^(2) =AF^(2) -BF^(2) " "...(iii)`
(i ) ,(ii )व (iii ) को जोड़ने पर
` " "(OB^(2) - OC^(2) )+ ( OC^(2) -OA ^(2)) +(OA^(2) -OB^(2)) `
` " "= (BD^(2) - CD^(2)) +(CE^(2)- AE^(2) )+ (AF^(2) -BF^(2) ) `
` rArr " " 0= (BD^(2) +CE^(2) +AF^(2))-(AE^(2)+ CD^(2) +BF^(2))`
` rArr " "AF^(2) +BD^(2) +CE^(2) =AE^(2) +BF^(2) +CD^(2)`