एक चतुर्भुज ABCD में सिद्ध करो की
` " "AB^(2) +BC^(2) +CD^(2) +DA^(2) =AC^(2) + BD^(2)`

Explanation

माना ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर काटते है| हम जानते है की समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत होते है तथा एक दूसरे को समद्विभाजित करते है|
अतः ` angle AOB =angle BOC =angle COD =angle DOA=90^(@) `
तथा, ` " "AO =CO ` और ` BO= OD `
समकोण त्रिभुज AOB में
`" "AB^(2) =OA^(2) +OB^(2) `
`rArr " "AB^(2) =( (1)/(2) AC) ^(2) +((1)/(2)BD)^(2)`
` " " [ because OA =(1)/(2) AC , OB =(1)/(2) BD]`
` rArr " " AB^(2)=(1)/(4) AC^(2) +(1)/(4)BD^(2) `
` rArr " " 4AB^(2) =AC^(2) +BD^(2) `
` rArr " "AB^(2) +AB^(2) +AB^(2) +AB^(2) =AC^(2) +BD^(2) " "...(i)`
परन्तु समचतुर्भुज में हम जानते है की चारों भुजाएं समान लम्बाई की होती है|अतः
` " "AB = BC =CD =DA `
` therefore " "AB^(2) +BC^(2) +CD^(2) +DA^(2) =AB^(2) +AB^(2)+ AB ^(2) +AB^(2) " "...(ii) `
(i ) व (ii )से
` " "AB^(2) + BC^(2) +CD^(2) +DA ^(2) = AC^(2) +BD^(2) `