चित्र में,ABC एक त्रिभुज है जिसमें `ACgt AB ,AD` एक मध्यिका है तथा AE भुजा BC पर लम्ब है|सिद्ध कीजिए की:
` (i) AC^(2) =AD^(2) +BC *DE+ ( 1)/(4) BC^(2)`
` (ii) AB^(2) =AD^(2) -BC *DE +(1)/(4)BC^(2)`
` (iii) AB^(2)+ AC^(2) =2 AD^(2) +(1)/(2) BC^(2)`

Explanation

दिया है की AE भुजा BC पर लम्ब है
` therefore " "angle AED =90^(@) `
` rArr " "angle ADE lt 90^(@) ` तथा ` angle ADC gt 90^(@) `
अतः त्रिभुज ADE एक न्यून कोण त्रिभुज तथा त्रिभुज ADC एक अधिक कोण त्रिभुज है|
`(i) Delta ADC ` में ` angle ADC ` एक अधिक कोण है|
` therefore " "AC^(2) =AD^(2) +DC^(2) +2 DC . DE `
` rArr" "AC^(2) =AD^(2) + ((1)/(2) BC) ^(2) +2 ((1)/(2) BC) .DE `
` rArr " " AC^(2) =AD^(2) +BC .D E+ (1)/(4) BC^(2) `
` (ii ) Delta ABD ` में ` angle ADE ` एक न्यून कोण है|
` therefore " "AB^(2) =AD^(2) +BD^(2) -2 BD .DE `
` rArr " "AB^(2) =AD^(2) +((1)/(2) BC) ^(2) -2 .(1)/(2) BC . DE `
` rArr " " AB^(2) =AD^(2) -BC . DE +(1)/(4) BC^(2) " "...(ii) `
(iii ) ,(i ) को जोड़ने पर
` " " AB ^(2)+ AC^(2) =2 AD ^(2)+ (1) /(2) BC^(2)`